Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Integral indefinida
Dada una función f definida en un intervalo I se dice que otra función F es una primitiva de f en I si F es derivable en I y F'=f en I.Si consideramos la función f(x)=2x, las funciones
son primitivas de f pues la derivada de cada una de ellas es 2x.
Dada una función f, no existe para ella una única primitiva F, ya que cualquier otra función de la forma F+C, donde C es una constante, también cumple la condición de que su derivada es igual a fAdemás, si F y G son primitivas de f en I entonces F-G=C (constante) en I pues
Las primitivas de una función forman una familia de funciones cuya representación gráfica es siempre la misma, estando cada una desplazada verticalmente respecto de las demás:
Al conjunto de todas las primitivas de una función f se le llama integral indefinida de f y se representa por
Para f(x)=2x se tiene
Teniendo en cuenta las derivadas de las funciones f "elementales" (potencias, exponenciales, trigonométricas, y sus inversas) obtenemos las siguientes integrales indefinidas:
Las igualdades anteriores son ciertas cuando las expresiones que aparecen en ellas tienen sentido. Así, por ejemplo
Sin embargo en I=(- ∞,0) obtenemos
Propiedades de la integral indefinida
Se verifica:
Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de la derivación:
Utilizando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y las primitivas de funciones sencillas podemos calcular la siguiente integral:
La generalización de estos resultados aparece en la tabla de integración inmediata.
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